Sonuç Tabloları (Payoff Tables)

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Sonuç tabloları, karar analizinde (decision analysis) kullanılan araçlardan birisidir. Herhangi bir karar öncesinde, kararların olası sonuçlarına göre bir tablo halinde gösterilmesi ve bu tablodaki değerlere göre seçim yapılması mümkündür. Örnek olarak bir yatırım yapmayı düşünen yatırımcının farklı alanlarda yatırım yapması durumunda farklı piyasa koşullarındaki beklentilerini gösteren aşağıdaki tabloyu ele alalım.

Yatırım

Seçenekleri

Olası Piyasa Durumları
Hızlı Yükseliş Hafif Yükseliş Sabit Hafif Düşüş Hızlı Düşüş
Altın -1000 1000 2000 3000 0
Hisse Senedi 2500 2000 1500 -1000 -1500
Emlak 5000 2500 1000 -2000 -6000
Banka Faizi 600 600 600 600 600
Opsiyonlu Hisse Senedi 2000 1500 1500 -2000 -1500

Yukarıdaki sonuç tablosunu okurken, örneğin 10.000 lira sermayesi olan bir kişinin bir yıllık yatırımı sonucunda 5 farklı piyasa koşulunda alacağı sonuçları düşünerek okumak mümkündür. Örneğin 10.000 lira sermayenin altına yatırılması durumunda ve piyasada hızlı yükseliş olması durumunda, sermaye sahibi 1.000 lira kaybetmekte bununla birlikte opsiyonlu hisse senedi alan bir kişi sabit piyasa koşullarında 1.500 lira kazanmaktadır.

Yukarıdaki sonuç tablosu incelendiğinde öncelikle karar aşamasında baskın koşul aranır. Örneğin herhangi bir yatırım aracının diğer bir yatırım aracına her durumda üstün veya eşit olduğu durum bulunmakta mıdır? Sorusu sorularak analize başlanabilir.

Gerçekten de hisse senedi seçenği, opsiyonlu hisse senedi seçeneğine göre her aşamada ha üstün ya da eşittir. 5 farklı piyasa koşulu incelenerek bu durum görülebilir.

Yatırım

Seçenekleri

Olası Piyasa Durumları
Hızlı Yükseliş Hafif Yükseliş Sabit Hafif Düşüş Hızlı Düşüş
Hisse Senedi 2500 2000 1500 -1000 -1500
Opsiyonlu Hisse Senedi 2000 1500 1500 -2000 -1500
Karşılaştırma Üstün Üstün Eşit Üstün Eşit

 

Yukarıdaki karşılaştırmaya bakıldığında, üç durumda üstün ve iki durumda eşitlik görülmektedir. Hiçbir durumda opsiyonlu hisse senedi daha iyi bir alternatif olarak görülmemektedir. Bu şartlar altında sonuç tablosundan opsiyonlu hisse senedi seçeneğini silmek ve bu seçeneği bir daha düşünmemek yerinde olacaktır. Sonuç tablomuz aşağıdaki şekli alır:

Yatırım

Seçenekleri

Olası Piyasa Durumları
Hızlı Yükseliş Hafif Yükseliş Sabit Hafif Düşüş Hızlı Düşüş
Altın -1000 1000 2000 3000 0
Hisse Senedi 2500 2000 1500 -1000 -1500
Emlak 5000 2500 1000 -2000 -6000
Banka Faizi 600 600 600 600 600

 

Tablodaki üstünlük analizi sonucunda bütün yatırım alternatiflerinin farklı piyasa koşullarında avantaj sağladığı görülerek daha fazla eleme yapmadan karar aşamasına geçilebilir.

Karar aşamasında en önemli kriterlerden birisi yatırımcının risk alma iştahıdır. Risk algısında göre farklı yatırım kararları verilebilir.

Şeklinde iki uç karar noktası bütün sonuç tabloları için mümkündür. Örneğin minimum risk yatırım stratejisi için tablo üzerinde her yatırım alternatifinin en düşük olduğu değer bulunarak bu değerlerin en yüksek olanı seçilir. Bu yaklaşıma aynı zamanda maximin, yani minimumların maksimumu ismi de verilir.

Yatırım

Seçenekleri

Olası Piyasa Durumları  
Hızlı Yükseliş Hafif Yükseliş Sabit Hafif Düşüş Hızlı Düşüş Minimum
Altın -1000 1000 2000 3000 0 -1000
Hisse Senedi 2500 2000 1500 -1000 -1500 -1500
Emlak 5000 2500 1000 -2000 -6000 -6000
Banka Faizi 600 600 600 600 600 600

 

Yukarıdaki tablonun son kolonunda her yatırım alternatifinin minimum değeri gösterilmiştir. Bu değerlerden en yükseği banka faizi alternatifidir ve en kötü durumda bile 600 liralık bir geri ödeme yapacağı garantisi bulunmaktadır. Bu hesaplamaya göre minimum risk almak isteyen bir yatırımcı, maximin yaklaşımı ile banka faizine yatırım yapmalıdır.

Tam tersi bir yaklaşımla yüksek risk iştahı bulunan ve yüksek getiri beklentisi olan bir yatırımcı ise her yatırım alternatifi için en yüksek geri dönüş değerini hesaplayabilir.

Yatırım

Seçenekleri

Olası Piyasa Durumları  
Hızlı Yükseliş Hafif Yükseliş Sabit Hafif Düşüş Hızlı Düşüş Maximum
Altın -1000 1000 2000 3000 0 3000
Hisse Senedi 2500 2000 1500 -1000 -1500 2500
Emlak 5000 2500 1000 -2000 -6000 5000
Banka Faizi 600 600 600 600 600 600

 

Yukarıdaki tablonun son kolonunda bulunan maksimum değerler incelendiğinde en yüksek getiri ihtimali olan yatırım seçeneği emlak olarak görülmektedir. Yatırım iştahı yüksek ve kazanç beklentisi de yüksek bir kişinin emlak yatırımı yapması daha doğru olacaktır. Bu yaklaşıma maximax ismi de verilmektedir.

Pişmanlık (kabul etmeme) tablosu

Pişmanlık (kabul etmeme) tablosu ise her olası durumda yaşanacak fırsat maliyetini (opportunity cost) hesaplamaktadır.

Örneğin hızlı yükseliş durumunda bir kişi doğru seçim yapar ve emlağa yatırım yaparsa 5000 lira kazanma potansiyeline sahiptir. Ancak bunun yerine altına yatırım yapan bir kişi 1000 lira kaybetmiştir. Aslında bu kişinin doğru yatırımda kazanacağı 5000 lirayı da kaybettiğini ve dolayısıyla toplam kaybının 6000 lira olduğunu söylemek mümkündür. İşte pişmanlık tablosu bu yaklaşımla hesaplanmakta ve her kolondaki en yüksek değerden diğer değerlerin çıkarılması ile kişinin bu yatırımda ne kadar pişmanlığı olacağını hesaplamaktadır.

Yatırım

Seçenekleri

Olası Piyasa Durumları  
Hızlı Yükseliş Hafif Yükseliş Sabit Hafif Düşüş Hızlı Düşüş MaksimumPişmanlık
Altın 6000 1500 0 0 600 6000
Hisse Senedi 2500 500 500 4000 2100 4000
Emlak 0 0 1000 5000 6600 6600
Banka Faizi 4400 1900 1400 2400 600 4400

Yukarıdaki tabloda ayrıca maksimum pişmanlık değeri olarak her yatırım aracının en yüksek pişmanlık değeri de verilmiştir. Bu değerler incelendiğinde risk beklentisi düşük olan bir kişi hisse senedi yatırımı ile alabileceği en fazla pişmanlığı azaltmak isteyebilir. Bu yaklaşıma minimaks pişmanlık (minimax regret) ismi verilmektedir.

Beklendik Değer (Expected Value)

Bu aşamaya kadar olan bütün işlemlerde piyasanın olası durumları arasında eşit ihtimal bulunduğu düşünülmüştür. Ancak çeşitli sebeplerle (örneğin piyasa analizleri) koşulların eşit olmadığı ve her koşulun farklı olaslıklara sahip olduğu durumlardan bahsetmek mümkün olabilir. Aşağıda, sonuç tablosuna her piyasa durumunun gerçekleşme ihtimallerini de içeren bir satır eklnemiş hali verilmiştir.

Yatırım

Seçenekleri

Olası Piyasa Durumları
Hızlı Yükseliş Hafif Yükseliş Sabit Hafif Düşüş Hızlı Düşüş
Altın -1000 1000 2000 3000 0
Hisse Senedi 2500 2000 1500 -1000 -1500
Emlak 5000 2500 1000 -2000 -6000
Banka Faizi 600 600 600 600 600
İhtimal 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1

Yukarıdaki yeni haliyle her yatırım seçeneği için farklı piyasa alternatiflerindeki ihtimaller ile bir beklenti değeri hesaplamak mümkündür. Bunun için basitçe aşağıdaki formül kullanılır ve her piyasa durumundaki değer ile o piyasa durumunun gerçekleşme ihtimali çarpılır ve çarpım sonuçları toplanır.

image001

Yatırım

Seçenekleri

Olası Piyasa Durumları  
Hızlı Yükseliş Hafif Yükseliş Sabit Hafif Düşüş Hızlı Düşüş EV
Altın -1000 1000 2000 3000 0 1000
Hisse Senedi 2500 2000 1500 -1000 -1500 1300
Emlak 5000 2500 1000 -2000 -6000 1250
Banka Faizi 600 600 600 600 600 600
İhtimal 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1

Yukarıdaki son kolon, beklenen değeri (EV) göstermektedir ve bu değerlerden en yüksek olanı hisse senedi yatırımına aittir. Buna göre tabloda verilen ihtimallerle piyasanın şekillenme olasılığı varsa, en doğru yatırım hisse senedi yatırımı olacaktır. Örnek olarak hisse senedinin beklenen değerinin hesabı aşağıda ayrıca verilmiştir:

image003

Tam Bilgi ile Dönüş Değeri (Expected Return with Perfect Information, ERPI)

Bu değer, piyasanın nasıl şekilleneceğinin tam olarak bilinmesi durumundaki kazanç/dönüş değerini hesaplamak için kullanılır. Yani piyasanın şekillenme ihtimalleri daha önceki tabloda verildiği gibi olmakla birlikte, bizim bu ihtimali tam başarı ile tahmin etmemiz durumunu hesaplarız. Bunun anlamı her piyasa durumu için en yüksek yatırım ihtimalleri üzerinden kazanç değerinin hesaplanmasıdır.

image005

Bu sayede, piyasa her ne şekilde gerçekleşirse gerçekleşsin biz yapılabilecek en fazla karı yaptığımızı düşünerek toplamdaki yapılabilecek en fazla karı hesaplamış oluruz. Bu değer bize piyasaki en yüksek kar ihtimalini göstermesi açısından önemlidir.

Yatırım

Seçenekleri

Olası Piyasa Durumları
Hızlı Yükseliş Hafif Yükseliş Sabit Hafif Düşüş Hızlı Düşüş
Altın -1000 1000 2000 3000 0
Hisse Senedi 2500 2000 1500 -1000 -1500
Emlak 5000 2500 1000 -2000 -6000
Banka Faizi 600 600 600 600 600
İhtimal 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1

 

Yukarıdaki tablodaki en yüksek değerler alındığında ve ihtimallerle çarpıldığında aşağıdaki sonuç elde edilmektedir:

image007

Yani bu piyasa ihtimalleri ile beklenebilecek en yüksek kazanç değeri 2710 olmaktadır.

Tam Bilgi ile Beklendik Değer (Expected Value with Perfect Information)

Bu değer, tam bilgiye sahip olmanın kazandırdığı artı değeri ifade etmektedir. Örneğin piyasa hakkında tam bilgimiz olduğununda 2710 kazandığımızı bir önceki adımdaki ERPI hesaplamasında bulmuştuk. Bu değerin yanında piyasa hakkında bilgi olunmadığında 1300 liralık bir beklenti değerimiz olduğunu da iki önceki adımda bulmuştuk. İşte tam bilginin bize kazandırdığı değer aslında bu iki değer arasındaki farktır.

Yani hangi piyasa koşulunun gerçekleşeceğini bilerek 2710 lira kazanıyor ve hangi piyasa koşulunun gerçekleşeceğini bilmeden 1300 lira kazanıyorsak asılnda kazancımız 2710-1300 =1410 liradır denilebilir.

Hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılabilir:

image009

Bayes Yaklaşımı (Bayesian Analysis)

Bir önceki adımdaki çözümde kesin ve tam bilgi (perfect information) bahsederken şimdi kesin olmayan ancak piyasanın belirli bir oranla tahmin edilmesi ihtimalinden bahsedebiliriz. Örneğin bir danışmanın sizin için piyasanın hızlı bir yükselişe gireceğini %80 ihtimalle doğru bileceğini düşünün. Bu durumda piyasa bir önceki adımda olduğu gibi %20 ihtimalle gerçekleşeceğini ancak bizim bunu %80 ihtimalle doğru bileceğimizi düşünüyoruz.

Bu durum için aşağıdaki gibi bir bayes ağı çizmek de mümkündür:

Yatırım

Seçenekleri

Olası Piyasa Durumları
Hızlı Yükseliş Hafif Yükseliş Sabit Hafif Düşüş Hızlı Düşüş
Altın -1000 1000 2000 3000 0
Hisse Senedi 2500 2000 1500 -1000 -1500
Emlak 5000 2500 1000 -2000 -6000
Banka Faizi 600 600 600 600 600
İhtimal 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
Başarılı Tahmin 0.8 0.7 0.5 0.4 0

 

Yukarıda verilen son satırda, başarılı tahmin oranları gösterilmiştir. Bu oranlara göre piyasanın oluşma ihtimalini belirli bir başarı oranıyla tahmin etmeyi planlıyoruz. Buradaki tahmin oranının 0.8 olması, piyasayı %80 başarı ile tahmin edebileceğimiz anlamına gelirken 0 olması piyasa hakkında hiçbir tahmin yeteneğimizin olmadığını ve bu piyasanın oluşumunun tamamen rassal olduğunu ifade etmektedir.

Bu durumda acaba piyasadan beklentimizi arttırabilir miyiz?

Soruya cevabımız, evet arttırabiliriz. Buradaki artışı hesaplamak için öncelikle koşullu olasılık değerlerini hesaplamamız gerekir. Bunun için kullanacağımız gösterim aşağıdaki şekilde olacaktır.

image011

Buradaki olasılık, basitçe başarılı tahmin yapıp aynı zamanda da hızlı yükseliş olması durumudur. Koşullu olasılık için ayrıca Bayes’ teoremini de kullanabilir ve aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

image013

Buradaki image015 ifadesi için sonuç olasılığı (posterior probability) ve denklemin sağ tarafındaki paydada bulunan bütün değerler için de önce olasılığı (prior probability) ismi verilebilir. Önce olasılığına (prior probability) ayrıca birleşik olasılık (joint probabiliyt) ismi de verilebilir. Buradaki amaç koşullu olasılık ile olayın gerçekleşme olasılıklarının birleştirilerek uygulanmasıdır. Amacımız bütün bu önce olasılıklarını hesaplamak ve sonuç olasılığını bulmaktır. Diğer bir deyişle 5 farklı piyasa yapısı için elimizdeki tahmin ihtimallerinin etkisini ölçmek istiyoruz.

Sonuç olasılıkları aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

Piyasa Yapısı İhtimal Başarılı Tahmin önce olasılık (birleşik olasılık) Sonuç olasılığı (Posterior)
Hızlı Yükseliş 0.2 0.8 0.16 0.28571
Hafif Yükseliş 0.3 0.7 0.21 0.375
Sabit 0.3 0.5 0.15 0.26786
Hafif Düşüş 0.1 0.4 0.04 0.07143
Hızlı Düşüş 0.1 0 0 0

 

Yukarıdaki tablodaki ilk sütun, piyasanın oluşma ihtimalini, ikinci sutün bizim bu piyasayı başarılı tahmin ihtimalimizi göstermektedir. Ardından bu iki olasılığın çarpımı (yani piyasanın oluşması ve bizim bunu tahmin etmemiz gibi koşullu bir olasılığı ve ihtimali çarparak her bir önce olasılık değerini (prior probability) buluyoruz. Ardından bu olasılık değerlerini kullanarak sonu olasılığını buluyoruz. Örneğin Hızlı yükseliş için önce olasılık hesaplanırken ihtimal değeri ile başarılı tahmin değeri çarpılıyor:

image017

Dolayısıyla hesaplama basit bir şekilde 0.2 x 0.8 = 0.16 şeklinde yapılıyor.

Ardından bu önce olasılık değerini bütün önce olasılık değerlerinin toplamına bölerek bu piyasa yapısı için sonuç olasılığını buluyoruz:

image019

Yukarıdaki tabloda gösterilen sonuç olasılığı değerleri “Hızlı Yükseliş” örneğindekine benzer şekilde teker teker doldurulmuştur.

Yukarıdaki tablonun bir benzerini, başarısız tahmin için hazırlamamız da mümkündür. Yani, örneğin 0.8 ihtimalle doğru tahmin edeceğimiz hızlı yükselişi, %20 ihtimalle yanlış tahmin edeceğimizi biliyoruz. Bu durumda benzer bir tablo aşağıdaki şekilde hazırlanabilir:

Piyasa Yapısı Piyasanın GerçekleşmeOlasılığı Hatalı Tahmin olasılığı önce olasılık (birleşik olasılık) Sonuç olasılığı (Posterior)
Hızlı Yükseliş 0.2 0.2 0.04 0.09091
Hafif Yükseliş 0.3 0.3 0.09 0.20455
Sabit 0.3 0.5 0.15 0.34091
Hafif Düşüş 0.1 0.6 0.06 0.13636
Hızlı Düşüş 0.1 1 0.1 0.22727

 

Son aşamada bu doğru tahmin veya hatalı tahmin etme ihtimallerimizin sonuçtaki beklendik değere (expected value) nasıl etkisi olduğunu buluyoruz:

Yatırım

Seçenekleri

Olası Piyasa Durumları Bekendik Değer
Hızlı Yükseliş Hafif Yükseliş Sabit Hafif Düşüş Hızlı Düşüş EV (Başarılı) EV (Başarısız)
Altın -1000 1000 2000 3000 0 839.3 1204.54
Hisse Senedi 2500 2000 1500 -1000 -1500 1794.64 670.475
Emlak 5000 2500 1000 -2000 -6000 2491.05 -329.51
Banka Faizi 600 600 600 600 600 600 600
P(Piyasa|Başarılı Tahmin) 0.28571 0.375 0.26786 0.07143 0
P(Piyasa|Hatalı Tahmin) 0.09091 0.20455 0.34091 0.13636 0.22727

 

Yukarıdaki tabloda beklendik değerleri hesapladıktan sonra, başarılı tahmin yapacağımızı biliyorsak en yüksek getirinin Emlak yatırımı olduğu sonucuna varabiliriz.

Tahminin bizim için değerini maddi olarak ölçmemiz de mümkündür. Bunun için ERSI (Expected return of sampling information) ismi verilen ve örnekleme bilgisinin geri dönüşü olarak türkçeye çevirebileceğimiz değeri aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz:

ERSI = P(Olumlu Tahmin) x P(Hisse|Olumlu Tahmin) + P(Olumsuz Tahmin) x P(Altın|Olumsuz Tahmin)

Bu formül, bir önceki adımda hesaplanan ve olumlu tahmin durumunda en fazla getirisi olan “Hisse” yatırımı ile olumsuz tahminde en fazla getirisi olan “Altın” yatırımlarının birleşik olasılıklarının toplamından oluşmaktadır. Aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

ERSI = 0.56 x 2500 + 0.44 x 1200 = 1925

Bu bilgiye ilave olarak EVSI, yani tahmin bilgisinin beklenen değerini (expected value) bulmak için tahmin bilgisi elimizde yokken elde ettiğimiz beklendik değerden farkını alıyoruz:

EVSI = ERSI – EREV = 1925 – 1300 = 625

Yani tahmin bilgisi, olumlu veya olumsuz olarak bize 625 lira fazladan kazandırmış oluyor. Örneğin bir danışman tutulup yukarıdaki tabloda verilen olumlu tahmin ihtimalleri ile bizim adımıza tahminde bulunursa bize danışmanın katkısı 625 lira olacaktır.

Son olarak danışmanın verimliliğini yüzdesel olarak ifade etmek istersek, bu durumda daha önceki hesapladığımız EVPI ile oranına bakmamız gerekir:

Bilginin Verimi = EVSI / EVPI = 625 / 1410 = 0.45

Yani tam olarak hangi piyasanın gerçekleşem ihtimali olduğu bilgisi elimizde varken kazanacağımız paraya, ki bu aslında kazanabileceğimiz en yüksek beklenti değerimizdir, oranla şu anda kazandığımız ilave para, %45 verimliliğe sahiptir diyebiliriz.

 

 

 

Leave a Reply


bir × = 4